Числа Якобсталя

Числа Якобсталя — целочисленная последовательность, названная в честь немецкого математика Э. Э. Якобсталя.

Числа Якобсталя

Как и числа Фибоначчи, числа Якобсталя — одна из последовательностей Люка

$U_{n}(P,Q),$

для которой P = 1 и Q = −2. Последовательность начинается с чисел

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10 923, 21 845, 43 691, 87 381, 174 763, 349 525, …

Числа Якобсталя определяются рекуррентным отношением

$J_{n}={\begin{cases}0,&n=0;\\1,&n=1;\\J_{n-1}+2J_{n-2},&n>1.\\\end{cases}}$

Другие варианты рекуррентного задания последовательности:

• $J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n}$
• $J_{n+1}=2^{n}-J_{n}$

Число Якобсталя с заданным номером можно вычислить с помощью формулы

$J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.$

Числа Якобсталя-Люка

Числа Якобсталя-Люка представляют собой последовательность Люка $V_{n}(1,-2)$. Они удовлетворяют тем же рекуррентным отношениям, что и числа Якобсталя, но отличаются начальными значениями:

$j_{n}={\begin{cases}2,&n=0;\\1,&n=1;\\j_{n-1}+2j_{n-2},&n>1.\\\end{cases}}$

Альтернативная формула:

$j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.$

Число Якобсталя-Люка с заданным номером можно вычислить с помощью формулы

$j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.$

Последовательность Якобсталя-Люка начинается с чисел

2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16 385, 32 767, 65 537, 131 071, 262 145, 524 287, 1 048 577, …

Литература

• A. F. Horadam (1994-05). "Jacobsthal representation numbers" (PDF) (англ.).
• Paul Barry (2003-04). "Triangle Geometry and Jacobsthal Numbers" (PDF) (англ.). Irish Math. Soc. Bulletin.
• Zvonko Čerin (2007). "Sums of Squares and Products of Jacobsthal Numbers" (PDF) (англ.). Vol. 10. Journal of Integer Sequences.

Ссылки

• Последовательность A049883 в OEIS: простые числа Якобсталя